{"id":9732,"date":"2017-01-06T17:17:00","date_gmt":"2017-01-06T16:17:00","guid":{"rendered":"http:\/\/kwiatek.edu.pl\/?p=9732"},"modified":"2017-01-19T17:18:36","modified_gmt":"2017-01-19T16:18:36","slug":"zadania-na-styczen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/?p=9732","title":{"rendered":"Zadania na stycze\u0144"},"content":{"rendered":"<p><strong><u>Poziom I<\/u><\/strong><\/p>\n<p><strong>Zadanie 1.<\/strong><\/p>\n<p>Niech a, b, c b\u0119d\u0105 takimi liczbami ca\u0142kowitymi, \u017ce 6|(a+b+c). Udowodni\u0107, \u017ce 6|(a<sup>3<\/sup>+b<sup>3<\/sup>+c<sup>3<\/sup>).<\/p>\n<p><strong>Zadanie 2.<\/strong><\/p>\n<p>Dany jest dodatni u\u0142amek nieskracalny\u00a0 \u00a0 mniejszy od liczby 1. Udowodnij, \u017ce u\u0142amek dope\u0142niaj\u0105cy go do liczby 1 jest tak\u017ce nieskracalny.<\/p>\n<p><strong>Zadanie 3.<\/strong><\/p>\n<p>Prostok\u0105t, kt\u00f3rego d\u0142ugo\u015bci \u00a0bok\u00f3w s\u0105 liczbami naturalnymi, podzielono na kwadraty o boku d\u0142ugo\u015bci\u00a01. W ka\u017cdy kwadrat wpisano pewn\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105 tak, \u017ce suma liczb w ka\u017cdym wierszu jest r\u00f3wna 1, a suma liczb w ka\u017cdej kolumnie jest r\u00f3wna 3. Rozstrzygnij, czy pole tego prostok\u0105ta mo\u017ce by\u0107 r\u00f3wne 2008?<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong><u>Poziom II<\/u><\/strong><\/p>\n<p><strong>Zadanie 1.<\/strong><\/p>\n<p>Znajd\u017a wszystkie funkcje \u00a0f:RR spe\u0142niaj\u0105ce r\u00f3wnanie:<\/p>\n<p>2f(x) + 3f(1 \u2013 x) = 4x \u2013 1.<\/p>\n<p><strong>Zadanie 2.<\/strong><\/p>\n<p>Narysuj wykres funkcji f(x) = \u00a0\u2013 3x, a nast\u0119pnie okre\u015bl liczb\u0119 rozwi\u0105za\u0144 r\u00f3wnania<\/p>\n<p>f(x) = m \u2013 1<\/p>\n<p>w zale\u017cno\u015bci od parametru m \u0510 R.<\/p>\n<p><strong>Zadanie 3.<\/strong><\/p>\n<p>Figura geometryczna jest kwadratem o wierzcho\u0142kach: A=(3,3), B=(-3,3), C=(-3,-3), D=(3,-3). W figurze tej wyci\u0119to cz\u0119\u015b\u0107 p\u0142aszczyzny ograniczon\u0105 wykresami funkcji o r\u00f3wnaniach:<\/p>\n<p>y =|x| &#8211; 3 oraz y = -(|x|-3).<\/p>\n<p>Obliczy\u0107 pole pozosta\u0142ej cz\u0119\u015bci kwadratu.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Poziom III<\/strong><\/p>\n<p><strong>Zadanie 1.<\/strong><\/p>\n<p>Wykaza\u0107, \u017ce je\u017celi r\u00f3wnanie kwadratowe <em>ax<sup>2<\/sup> + bx = c = 0<\/em> o wsp\u00f3\u0142czynnikach ca\u0142kowitych ma pierwiastek wymierny, to co najmniej jedna z liczb a, b, c jest parzysta.<\/p>\n<p><strong>Zadanie 2.<\/strong><\/p>\n<p>Udowodnij, \u017ce dla ka\u017cdego n \u0510 N wielomian:<\/p>\n<p>1 + \u00a0+ \u00a0+\u2026+ \u00a0 nie ma pierwiastk\u00f3w wielokrotnych.<\/p>\n<p><strong>Zadanie 3.<\/strong><\/p>\n<p>Prostok\u0105tny wycinek ko\u0142a o promieniu r podzielono na dwie cz\u0119\u015bci okr\u0119giem o \u00a0\u015brodku w \u00a0ko\u0144cu \u0142uku danego wycinka. Obliczy\u0107\u00a0 promie\u0144 ko\u0142a wpisanego w mniejsz\u0105 z tych cz\u0119\u015bci.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Poziom I Zadanie 1. Niech a, b, c b\u0119d\u0105 takimi liczbami ca\u0142kowitymi, \u017ce 6|(a+b+c). Udowodni\u0107, \u017ce 6|(a3+b3+c3). Zadanie 2. Dany jest dodatni u\u0142amek nieskracalny\u00a0 \u00a0 mniejszy od liczby 1. Udowodnij, \u017ce u\u0142amek dope\u0142niaj\u0105cy go do liczby 1 jest tak\u017ce nieskracalny. Zadanie 3. Prostok\u0105t, kt\u00f3rego d\u0142ugo\u015bci \u00a0bok\u00f3w s\u0105 liczbami naturalnymi, podzielono na kwadraty o boku d\u0142ugo\u015bci\u00a01. [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-9732","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/9732","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=9732"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/9732\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":9733,"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/9732\/revisions\/9733"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=9732"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=9732"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/kwiatek.edu.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=9732"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}