Zadania na styczeń

Poziom I

Zadanie 1.

Niech a, b, c będą takimi liczbami całkowitymi, że 6|(a+b+c). Udowodnić, że 6|(a³+b³+c³).

Zadanie 2.

Dany jest dodatni ułamek nieskracalny    mniejszy od liczby 1. Udowodnij, że ułamek dopełniający go do liczby 1 jest także nieskracalny.

Zadanie 3.

Prostokąt, którego długości  boków są liczbami naturalnymi, podzielono na kwadraty o boku długości 1. W każdy kwadrat wpisano pewną liczbę całkowitą tak, że suma liczb w każdym wierszu jest równa 1, a suma liczb w każdej kolumnie jest równa 3. Rozstrzygnij, czy pole tego prostokąta może być równe 2008?

Poziom II

Zadanie 1.

Znajdź wszystkie funkcje  f:RR spełniające równanie:

2f(x) + 3f(1 – x) = 4x – 1.

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji f(x) =  – 3x, a następnie określ liczbę rozwiązań równania

f(x) = m – 1

w zależności od parametru m Ԑ R.

Zadanie 3.

Figura geometryczna jest kwadratem o wierzchołkach: A=(3,3), B=(-3,3), C=(-3,-3), D=(3,-3). W figurze tej wycięto część płaszczyzny ograniczoną wykresami funkcji o równaniach:

y =|x| – 3 oraz y = -(|x|-3).

Obliczyć pole pozostałej części kwadratu.

Poziom III

Zadanie 1.

Wykazać, że jeżeli równanie kwadratowe ax² + bx = c = 0 o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, to co najmniej jedna z liczb a, b, c jest parzysta.

Zadanie 2.

Udowodnij, że dla każdego n Ԑ N wielomian:

1 +  +  +…+   nie ma pierwiastków wielokrotnych.

Zadanie 3.

Prostokątny wycinek koła o promieniu r podzielono na dwie części okręgiem o  środku w  końcu łuku danego wycinka. Obliczyć  promień koła wpisanego w mniejszą z tych części.